В организацию пришел запрос на выдачу характеристики на работника, который на момент получения запроса не уволен и его увольнение не планируется. Обязан ли наниматель выдать характеристику в этой ситуации? 

Обязан выдать. Скорее всего, работник трудоустраивается по совместительству.
По этому вопросу есть Разъяснение по применению Декрета Президента Республики Беларусь от 12 октября 2021 г. № 6 «Об изменении Декрета Президента Республики Беларусь», размещенное на сайте Минтруда и соцзащиты Республики Беларусь. Согласно данному Разъяснению при приеме на работу внешнего совместителя в государственную организацию характеристику необходимо запрашивать. При этом предыдущим местом работы по отношению к совместительству в данном случае будет основное место работы работника. Таким образом, если в организацию пришел запрос, необходимо оформить и выдать характеристику.